Question

設(shè)函數(shù) ．

（1） 當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)是在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列的增減性.

 

Answer 1

（1）極大值，無極小值；（2）詳見解析；（3）數(shù)列是單調(diào)遞減.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，函數(shù)，于是可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值；

（2）當(dāng)時，

要證在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，只要證在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且即可；

（3）先求和，再根據(jù)得到，結(jié)合（2）的結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，從而得到，結(jié)論得證.

【解析】
（1）由已知，得：

由得：

當(dāng)時，單調(diào)遞增

當(dāng)時，單調(diào)遞減

所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

故的極大值為，無極小值.

（2）由已知，得：

∴易得： 于是在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)；

又當(dāng)時，恒成立

∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的

故在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)． （8分）

解:（3）：數(shù)列是單調(diào)遞減的. 理由如下： （9分）

由（2）設(shè) 是在內(nèi)唯一的零點(diǎn)，

則

又，

于是

即

由（2）在上是單調(diào)遞增的，

∴當(dāng)時，．

故數(shù)列是單調(diào)遞減的. （14分）

考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)存在性的判斷；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；3、利用函數(shù)的思想解決數(shù)列的單調(diào)性問題.