Question

12．已知函數(shù)f（x）=（a-1）x+xlnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1．
（Ⅰ）求g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若m＞n＞1，求證：$\frac{{\root{m}{n}}}{{\root{n}{m}}}$＞$\frac{n}{m}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過f′（1）=1，求出a，求出g（x）的解析式，通過求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用分析法證明$\frac{{\root{m}{n}}}{{\root{n}{m}}}＞\frac{n}{m}$，m＞n＞1，通過兩邊取對數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，推出結(jié)果即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（a-1）+lnx+1=a+lnx，而f′（1）=1，因而a=1，
f（x）=xlnx，
$g（x）=\frac{f（x）}{x-1}=\frac{xlnx}{x-1}$，$g′（x）=\frac{（x-1）-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}$…（2分）
設(shè)h（x）=x-1-lnx，其中x＞0，則$h′（x）=1-\frac{1}{x}$
則h′（x）=0得x=1
當(dāng)0＜x＜1時h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x＞1時h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）的最小值為0，
因而h（x）≥0，即$g′（x）=\frac{（x-1）-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}≥0$
那么g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
（Ⅱ）若證明$\frac{{\root{m}{n}}}{{\root{n}{m}}}＞\frac{n}{m}$，m＞n＞1，兩邊取對數(shù)，
則需證明$\frac{1}{m}lnn-\frac{1}{n}lnm＞lnn-lnm$
即證明$\frac{mlnm}{m-1}＞\frac{nlnn}{n-1}$，由（1）g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m＞n＞1時，$\frac{mlnm}{m-1}＞\frac{nlnn}{n-1}$成立，
因而$\frac{{\root{m}{n}}}{{\root{n}{m}}}＞\frac{n}{m}$成立．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的切線方程的應(yīng)用，分析法證明不等式以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想就分類討論思想的應(yīng)用．