Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax（其中a＞0）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)便可得到$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-a$，從而x∈[0，+∞）便有$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}≥0$，這樣根據(jù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)便可得出a≤0，即得出了實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-a$；
∵f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，且x∈[0，+∞）時，$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$；
∴$0≤\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}＜1$；
又a＞0；
∴a≥1；
∴a的取值范圍為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，注意正確求導(dǎo)．