Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，證明f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析 證法一：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，作差比較f（x₁），f（x₂）的大小，結(jié)合單調(diào)性的定義，可得結(jié)論；
證法二：求導(dǎo)，判斷出導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的符號(hào)，可得原函數(shù)的單調(diào)性．

解答 證法一：（定義法），
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}{{（x}_{2}}^{2}+1）-{x}_{2}{{（x}_{1}}^{2}+1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)．
證法二：（導(dǎo)數(shù)法）
∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴函數(shù)f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，難度中檔．