Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{a_n}•\sqrt{{a_{n+1}}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*，兩邊同除以n（n+1）可得：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=n，可得b_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （1）證明：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*，∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，∴a_n=n²．
∴${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{a_n}•\sqrt{{a_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．