Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N，有a_n+S_n=n，設(shè)b_n=a_n-1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 由a_n+S_n=n，可得2a₁=1，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=n-1，可得a_n-a_n-1+a_n=1，變形為a_n-1=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-1）$，把b_n=a_n-1代入即可得出．

解答 證明：∵a_n+S_n=n，∴2a₁=1，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=n-1，
∴a_n-a_n-1+a_n=1，
變形為a_n-1=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-1）$，
∵b_n=a_n-1，
∴$_{n}=\frac{1}{2}_{n-1}$，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．