Question

1．已知點F₁、F₂依次為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a，b＞0）的左右焦點，|F₁F₂|=6，B₁（0，-b），B₂（0，b）．
（1）若$a=\sqrt{5}$，以$\overrightarrow d=（3，-4）$為方向向量的直線l經(jīng)過B₁，求F₂到l的距離；
（2）若雙曲線C上存在點P，使得$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}=-2$，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：c=3，由$a=\sqrt{5}$，求得b的值，根據(jù)向量共線定理求得直線的斜率k，直線過F₂（3，0），求得直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式即可求得F₂到l的距離；
（2）設(shè)出P點坐標(biāo)，由雙曲線的性質(zhì)可知：a²=9-b²，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得x₀²+y₀²-b²=-2，由點P在雙曲線上，將P點坐標(biāo)代入雙曲線上，整理得2b⁴-11b²=9y₀²，由y₀²≥0，及b＜3，即可求得b的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：c=3，F(xiàn)₂（3，0），
c²=a²+b²，$a=\sqrt{5}$，
∴b=2，
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
$\overrightarrow d=（3，-4）$為方向向量的直線l，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
點B₁（0，-2）在直線l上，m=-2，
∴直線方程為4x+3y+6=0，
F₂到l的距離d=$\frac{丨4×3+4×0+6丨}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{18}{5}$
（2）由題意可知：c=3，設(shè)P（x₀，y₀），
c²=a²+b²，得a²=c²-b²=9-b²，①
$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（x₀，y₀+b），$\overrightarrow{P{B}_{2}}$=（x₀，y₀-b），
$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}=-2$，整理得：x₀²+y₀²-b²=-2，
則：x₀²=b²-y₀²-2，②
由點P在雙曲線上：∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，③
將①②代入③整理得：$\frac{^{2}-{y}_{0}^{2}-2}{9-^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，
∴（b²-y₀²-2）×b²-y₀²×（9-b²）=（9-b²）×b²，
整理得：2b⁴-11b²=9y₀²，
∵y₀²≥0，
∴2b⁴-11b²≥0，
解得：b≥$\frac{\sqrt{22}}{2}$，
∵b＜3，
實數(shù)b的取值范圍[$\frac{\sqrt{22}}{2}$，3）．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)及應(yīng)用，考查求直線的方程、點到直線的距離公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查分析問題及解決問題的能力，綜合性較強，屬于中檔題．