Question

給出如下五個結(jié)論：
①存在α∈（0，

π

2

）使sinα+cosα=

1

3

②存在區(qū)間（a，b）使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0
③y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)
④y=cos2x+sin（

π

2

-x）既有最大、最小值，又是偶函數(shù)
⑤y=|sin（2x+

π

6

）|最小正周期為π
其中正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：把sinα+cosα化積后由α的范圍求出其值域判斷①；
求出y=cosx的減區(qū)間判斷②；
由正切函數(shù)的單調(diào)性判斷③；
利用倍角公式和誘導公式化簡原函數(shù)后判斷④；
求出y=sin（2x+

π

6

）的最小正周期后得y=|sin（2x+

π

6

）|最小正周期判斷⑤．

解答： 解：對于①，sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)，
∵α∈（0，

π

2

），
∴α+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)，∴sinα+cosα＞1．命題①錯誤；
對于②，若y=cosx為減函數(shù)，則x∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，sinx≥0．命題②錯誤；
對于③，y=tanx在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)，在其定義域內(nèi)有無數(shù)增區(qū)間．命題③錯誤；
對于④，y=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1，該函數(shù)既有最大、最小值，又是偶函數(shù)．命題④正確；
對于⑤，∵y=sin（2x+

π

6

）的最小正周期為2π，∴y=|sin（2x+

π

6

）|最小正周期為π．命題⑤正確．
∴正確的命題是④⑤．
故答案為：④⑤．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．