Question

4．已知離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求此橢圓的方程；
（2）已知直線y=kx+2與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，若以線段CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），求k的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)焦距為2c，結(jié)合e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，從而求橢圓的方程；
（2）聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得（1+3k²）x²+12kx+9=0，再設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）；從而可得x₁+x₂=-$\frac{12k}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{9}{3{k}^{2}+1}$；從而由平面向量化簡(jiǎn)可得（k²+1）$\frac{9}{3{k}^{2}+1}$-（2k+1）$\frac{12k}{3{k}^{2}+1}$+5=0，從而解得．

解答 解：（1）設(shè)焦距為2c，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²=b²+c²，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴2$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得，b=1，a=$\sqrt{3}$；
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）將y=kx+2代入橢圓方程，
化簡(jiǎn)可得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)知，
△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，
解得，k²＞1；
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）；
則x₁+x₂=-$\frac{12k}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{9}{3{k}^{2}+1}$；
若以線段CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），
則$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=0，
即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
則（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5
=（k²+1）$\frac{9}{3{k}^{2}+1}$-（2k+1）$\frac{12k}{3{k}^{2}+1}$+5=0，
解得，k=$\frac{7}{6}$，滿足k²＞1；
故k=$\frac{7}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及平面向量的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力．