Question

9．已知角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2）．
（Ⅰ）求$\frac{sin（π-α）+4cos（π+α）}{2sin（\frac{π}{2}-α）-3cos（\frac{π}{2}+α）}$的值；
（Ⅱ）求tan（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-2），利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinα與cosα的值，代入原式計(jì)算即可求出值．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanα，利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan2α，進(jìn)而利用兩角和的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求得tan（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2），
∴sinα=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，cosα=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
∴$\frac{sin（π-α）+4cos（π+α）}{2sin（\frac{π}{2}-α）-3cos（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{sinα-4cosα}{2cosα+3sinα}$=$\frac{\frac{2}{\sqrt{13}}-\frac{12}{\sqrt{13}}}{\frac{6}{\sqrt{13}}+\frac{6}{\sqrt{13}}}$=-$\frac{5}{6}$；
（Ⅱ）∵tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{2}{3}$，tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{12}{5}$，
∴tan（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan2α+1}{1-tan2α}$=-$\frac{17}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了任意角的三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正切函數(shù)公式，兩角和的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．