Question

12．已知函數(shù)h（x）=ae^x的一條切線為y=ex．
（1）求a的值
（2）設(shè)x＞0，求證：h（x）＞1+x+$\frac{1}{2}$x²．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)，利用函數(shù)h（x）=ae^x的一條切線為y=ex，求a的值
（2）即證明1＞（1+x+$\frac{1}{2}$x²）e^-x（x＞0），構(gòu)造函數(shù)，即可證明．

解答 （1）解：根據(jù)題意可設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）
則$a{e}^{{x}_{0}}$=ex₀，$a{e}^{{x}_{0}}$=e，
故a=1；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞1+x+$\frac{1}{2}$x²，即e^x＞1+x+$\frac{1}{2}$x²，
則1＞（1+x+$\frac{1}{2}$x²）e^-x（x＞0）
令g（x）=（1+x+$\frac{1}{2}$x²）e^-x，并求其最大值．
則g′（x）=（-$\frac{1}{2}$x²）e^-x．
所以在x＞0，g（x）恒減，所以g（x）＜g（0）=1，
故h（x）＞1+x+$\frac{1}{2}$x²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何運(yùn)用，考查不等式的證明，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．