Question

1．設(shè)f（x）=|lgx|，a，b滿足f（a）=f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$）的實(shí)數(shù)，其中0＜a＜b，則4b-b²的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，3）
• C． （3，4）
• D． （4，5）

Answer 1

分析 可畫出f（x）的草圖，從而可得出0＜a＜1＜b，從而得出-lga=lgb，從而有$a=\frac{1}$，這樣便可判斷$\frac{1}+b＞2$，進(jìn)而得出$2f（\frac{a+b}{2}）=lg（\frac{\frac{1}+b}{2}）^{2}=lgb$，化簡(jiǎn)即可得出$4b-^{2}=\frac{1}{^{2}}+2$，這樣根據(jù)b＞1便可求出$\frac{1}{^{2}}+2$的范圍，即4b-b²的范圍．

解答 解：畫出f（x）的草圖如下所示：
可看出0＜a＜1＜b；
∴f（a）=-lga，f（b）=lgb；
∴-lga=lgb；
∴$a=\frac{1}$；
∴$a+b=\frac{1}+b＞2$；
∴$\frac{a+b}{2}＞1$；
∴$2f（\frac{a+b}{2}）=2lg\frac{\frac{1}+b}{2}=lgb$；
∴$b=（\frac{\frac{1}+b}{2}）^{2}=\frac{\frac{1}{^{2}}+^{2}+2}{4}$；
∴$4b-^{2}=\frac{1}{^{2}}+2$；
b＞1，∴$0＜\frac{1}{^{2}}＜1$；
∴2＜4b-b²＜3；
即4b-b²的取值范圍是（2，3）．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查借助函數(shù)圖象解決問(wèn)題的方法，能畫出f（x）=|lgx|的草圖，已知函數(shù)求值的方法，基本不等式，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算．