【題目】如圖,是圓的直徑,點是圓上異于,的點,直線平面,,分別是,的中點.
(Ⅰ)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關系,并加以證明;
(Ⅱ)設,求二面角大小的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)平面,證明見解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)證出平面,由線面平行的性質(zhì)定理可證出,再由線面平行的判定定理即可求解.
(Ⅱ)法一:證出是二面角的平面角,,根據(jù)的范圍即可求解.
法二:以為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標系,求出平面的法向量與平面的法向量,利用向量的數(shù)量積即可求解.
(Ⅰ)證明如下:
∵,平面,平面,
∴平面.
又平面,平面與平面的交線為,
∴.
而平面,平面,
∴平面.
(Ⅱ)解法一:設直線與圓的另一個交點為,連結(jié),.
由(Ⅰ)知,,而,∴.
∵平面,∴.
而,∴平面,
又∵平面,∴,
∴是二面角的平面角.
.
注意到,∴,∴.
∵,∴,
即二面角的取值范圍是.
解法二:由題意,,以為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標系,
設,,則,,,
,.
設平面的法向量為,
則由得,取得.
易知平面的法向量,
設二面角的大小為,易知為銳角,
,
∴,
即二面角的取值范圍是.
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【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若直線上與C交于A,B兩點,是否存在l,使得點在以AB為直徑的圓外.若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),,,其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意,總存在,使得成立,求的取值范圍.
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【題目】設函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當a=0時,求函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)已知函數(shù)f (x)的導函數(shù)f (x)有三個零點x1,x2,x3(x1 x2 x3).①求a的取值范圍;②若m1,m2(m1 m2)是函數(shù)f (x)的兩個零點,證明:x1m1x1 1.
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【題目】對于函數(shù),若存在定義域內(nèi)某個區(qū)間,使得在上的值域也是,則稱函數(shù)在定義域上封閉.如果函數(shù)在上封閉,那么實數(shù)的取值范圍是______.
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【題目】據(jù)環(huán)保部門測定,某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比,與到污染源距離的平方成反比,比例常數(shù)為k(k>0).現(xiàn)已知相距18km的A,B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為a,b,它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設AC=x(km).
(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)若a=1,且x=6時,y取得最小值,試求b的值.
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【題目】已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標原點.
(I)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積.
(II)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
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