Question

【題目】已知函數(shù),,,其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意,總存在,使得成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)后,令導(dǎo)函數(shù)大于的解集即為增區(qū)間,令導(dǎo)函數(shù)小于的解集即為減區(qū)間;

（2）問題等價(jià)于函數(shù)在上的值域包含于函數(shù)在上的值域,再求解即可.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,

令,解得,令,解得,

函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;

（2）依題意,函數(shù)在上的值域包含于函數(shù)在上的值域,

由（1）可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故值域?yàn)?/span>,

由得,

①當(dāng)時(shí),恒成立,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí)值域?yàn)?/span>,故不符合題意;

② 當(dāng)時(shí),的解集為,的解集為,

故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

且,

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時(shí)值域?yàn)?/span>,

則此時(shí)需要,即,

當(dāng)時(shí),不可能成立,故不符合題意;

當(dāng)時(shí),在上恒成立,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,

此時(shí)值域?yàn)?/span>,則,解得;

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.