Question

1．如圖，正三棱錐A-BCD的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面BCD的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，E，分別為BC，BD的中點(diǎn)，則三棱錐A-BEF的外接球的半徑R=1，內(nèi)切球半徑r=2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理求出三棱錐A-BEF的外接球的半徑，利用等體積求出內(nèi)切球半徑．

解答 解：設(shè)三棱錐A-BEF的外接球的球心為O，則O在平面BEF上的射影O′為△BEF的中心，
∴BO′=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∵A到平面BCD的距離為$\sqrt{4-（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱錐A-BEF的外接球的半徑R=$\sqrt{\frac{6}{9}+\frac{3}{9}}$=1，
三棱錐A-BEF的體積V=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•2•\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
又S=$\frac{\sqrt{3}}{4}•2$+2×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}•2$=2+$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$（2+$\sqrt{3}$）r，
∴r=2-$\sqrt{3}$．
故答案為：1，2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐A-BEF的外接球的半徑、內(nèi)切球半徑，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．