Question

給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
②線性相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個隨機變量線性相關性越強；
③若a，b∈[0，1]則不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

16

；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0則△ABC一定是等腰三角形．
其中假命題的序號是

 

．（填上所有假命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：直接寫出全程命題的否定判斷①；
性相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個隨機變量線性相關性越強判斷②；
命題③中給出兩個變量a、b的范圍，求出點（a，b）表示平面區(qū)域的面積，再求出滿足式a²+b²＜

1

4

的平面區(qū)域的面積，由測度比為面積比求得概率；
條件即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用兩角和的余弦公式、誘導公式化簡可得cos（A+B）=0，故A+B=

π

2

，C=

π

2

，
從而得到△ABC形狀一定是直角三角形．

解答： 解：①命題“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²＜0”，命題①是假命題；
②由相關系數的定義可知：
性相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個隨機變量線性相關性越強，故②正確；
③∵a，b∈[0，1]，則點（a，b）表示的平面區(qū)域的面積為1，
∴滿足不等式a²+b²＜

1

4

的平面區(qū)域的面積為

1

4

×

1

4

π=

π

16

，
∴若a，b∈[0，1]則不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

16

．
故命題③正確；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0則△ABC一定是等腰三角形錯誤．
事實上，∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0．
∴cosBcos（B+C）-sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0，
即 cosBcos（π-A）-sinBsin（π-A）+2sinAsinB=0．
∴-cosBcosA-sinBsinA+2sinAsinB=0，即-cosBcosA+sinBsinA=0．
即-cos（A+B）=0，cos（A+B）=0．
∴A+B=

π

2

，
∴C=

π

2

，故△ABC形狀一定是直角三角形．
故答案為：①④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了幾何概率模型，考查了三角形的形狀判斷，是中檔題．