Question

數(shù)列{

1

an

}是首項為1的等差數(shù)列，a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的公差為d，則a₁=1，a2=

1

1+d

，a5=

1

1+4d

，
而a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數(shù)列，
故有(

1

1+d

)2=

1

1+4d

，解得d=0或d=2，
又∵公比不為1，故d≠0，
因此

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，即a_n=

1

2n-1

．
（Ⅱ）b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．