Question

9．已知直線y=x+b與圓x²+y²-2x+4y-4=0相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則實(shí)數(shù)b的值為1或-4．

Answer 1

分析 將直線方程代入圓的方程，利用韋達(dá)定理，及以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，可得關(guān)于b的方程，即可求解，注意方程判別式的驗(yàn)證．

解答 解：由直線y=x+b與圓x²+y²-2x+4y-4=0，消去y，得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0①
設(shè)直線l和圓C的交點(diǎn)為A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是①的兩個(gè)根．
∴x₁x₂=$\frac{^{2}+4b-4}{2}$，x₁+x₂=-b-1．             ②
由題意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，即2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0③
將②代入③得：b²+3b-4=0．                  
解得：b=1或b=-4，
b=1時(shí)，方程為2x²+4x+1=0，判別式△=16-8＞0，滿足題意
b=-4時(shí)，方程為2x²-6x-4=0，判別式△=36+32＞0，滿足題意
所以滿足條件的b為：b=1或b=-4．
故答案為1或-4．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于基本知識(shí)的考查與應(yīng)用．