Question

19．若函數(shù)f（x）=e^x（sinx+a）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，-$\sqrt{2}$]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性即可得答案．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=e^x（sinx+a）
那么：f′（x）=e^x（cosx+sinx+a）=e^x[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a]
∵x∈（0，π）
∴$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{5π}{4}$，
則：[sin（x+$\frac{π}{4}$）]_min=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減，
∴有$\sqrt{2}$[sin（x+$\frac{π}{4}$）]_min+a≤0，
解得：a≤1，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用求解參數(shù)問題，利用了導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性．屬于基礎(chǔ)題．