Question

10．已知三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在（-∞，-1），（2，+∞）上增加的，在（-1，2）上是減少的遞減．
（1）求a，b的值；
（2）當且僅當x≥4時，f（x）≥x²-4x+5，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性，得到-1，2是關于導函數(shù)的方程的根，代入求出a，b的值即可；
（2）問題轉化為當且僅當x≥4時，x³-$\frac{5}{2}$x²-2x+c-5≥0，令h（x）=x³-$\frac{5}{2}$x²-2x+c-5，根據(jù)函數(shù)的單調性求出c的值，從而求出f（x）的表達式．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在（-∞，-1），（2，+∞）上增加的，在（-1，2）上是減少，
∴-1，2是方程3x²+2ax+b=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-2a+b=0}\\{12+4a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+c，
當且僅當x≥4時，f（x）≥x²-4x+5，
即當且僅當x≥4時，x³-$\frac{5}{2}$x²-2x+c-5≥0，
令h（x）=x³-$\frac{5}{2}$x²-2x+c-5，
h′（x）=（3x+1）（x-2），
令h′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-$\frac{1}{3}$，
令h′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜2，
∴h（x）在[4，+∞）遞增，
故只需h（4）=64-40-8-5+c=0，
解得：c=-11，
故f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x-11．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，是一道中檔題．