Question

4．口袋里裝有大小相同的若干個(gè)小球，其中紅球3個(gè)，藍(lán)球2個(gè)，黃球m個(gè)，黑球1個(gè)．
（1）從中取出2個(gè)球，這2個(gè)球至少有1個(gè)紅球的概率為$\frac{9}{14}$，求m；
（2）在（1）條件下，從中取出3個(gè)球，設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用對立事件概率計(jì)算公式能求出m的值．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）∵口袋里裝有大小相同的若干個(gè)小球，其中紅球3個(gè)，藍(lán)球2個(gè)，黃球m個(gè)，黑球1個(gè)，
從中取出2個(gè)球，這2個(gè)球至少有1個(gè)紅球的概率為$\frac{9}{14}$，
∴$\frac{{C}_{2+m+1}^{2}}{{C}_{3+2+m+1}^{2}}$=1-$\frac{9}{14}$=$\frac{5}{14}$，
解得m=2，或m=-$\frac{11}{3}$（舍），
∴m=2．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{10}{56}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{30}{56}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{10}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

E（ξ）=$0×\frac{10}{56}+1×\frac{30}{56}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}$=$\frac{63}{56}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．