Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的模分別為$\sqrt{2}$，2，且$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為45°，在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{m}$-6$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，則|$\overrightarrow{AD}$|=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由D為BC中點可得$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}$，計算${\overrightarrow{AD}}^{2}$再開方即可．

解答 解：${\overrightarrow{m}}^{2}=2$，${\overrightarrow{n}}^{2}=4$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}×2×cos45°=2$．
∵$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，∴D是BC的中點，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$．
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=4${\overrightarrow{m}}^{2}$-8$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+4${\overrightarrow{n}}^{2}$=8．
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義及數(shù)量級運算，屬于中檔題．