Question

如圖，我市有一個健身公園，由一個直徑為2km的半圓和一個以PQ為斜邊的等腰直角三角形△PRQ構(gòu)成，其中O為PQ的中點．現(xiàn)準(zhǔn)備在公園里建設(shè)一條四邊形健康跑道ABCD，按實際需要，四邊形ABCD的兩個頂點C、D分別在線段QR、PR上，另外兩個頂點A、B在半圓上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD間的距離為1km．設(shè)四邊形ABCD的周長為ckm．
（1）若C、D分別為QR、PR的中點，求AB長；
（2）求周長c的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,在實際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）連結(jié)RO并延長分別交AB、CD于M、N，連結(jié)OB，運用等腰直角三角形的性質(zhì)，
結(jié)合勾股定理計算即可得到AB的長；
（2）設(shè)∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+

1+(sinθ-cosθ)2

），
再由

a+b

2

≤

a2+b2 2

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號），計算即可得到最大值．

解答： （1）解：連結(jié)RO并延長分別交AB、CD于M、N，連結(jié)OB，
∵C、D分別為QR、PR的中點，PQ=2，∴CD=

1

2

PQ=1，
∵△PRQ為等腰直角三角形，PQ為斜邊，∴RO=

1

2

PQ=1，NO=

1

2

RO=

1

2

．
∵MN=1，∴MO=

1

2

．
在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=

BO2-OM2

=

3

2

，
∴AB=2BM=

3

．　　　　　　　　　　                        
（2）設(shè)∠BOM=θ，0＜θ＜

π

2

，
在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．
∵MN=1，∴CN=RN=1-ON=OM=cosθ，
∴BC=AD=

1+(sinθ-cosθ)2

，
∴c=AB+CD+BC+AD=2(sinθ+cosθ+

1+(sinθ-cosθ)2

)，≤2

2

(sinθ+cosθ)2+( 1+(sinθ-cosθ)2 )2

=2

6

，
當(dāng)sinθ+cosθ=

1+(sinθ-cosθ)2

，即有sin2θ=

1

2

，
即θ=

π

12

或

5π

12

時取等號．
∴當(dāng)θ=

π

12

或θ=

5π

12

時，周長c的最大值為2

6

km．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，考查重要不等式的運用，考查同角的平方關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．