Question

12．已知遞增等差數(shù)列{a_n}滿足a₁•a₄=7，a₂+a₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （1）將已知條件轉(zhuǎn)化為用等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比表示，通過解方程組可求得基本量，從而求得通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$得${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂項(xiàng)相消法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

解答 解：（1）由已知由等差數(shù)列性質(zhì)可知：a₂+a₃=a₁+a₄，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_4}=8\\{a_1}{a_4}=7\\{a_1}＜{a_4}\end{array}\right.$，
解得：a₁=1，a₄=7
∴d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1；
（2）由${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，可知${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，“裂項(xiàng)相消法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．