Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
（1）判斷x的奇偶性，并證明；
（2）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）為減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，分析：函數(shù)f（x）的定義域為R，證明f（-x）=-f（x）即可．
（2）任取1＜x₁＜x₂，作差：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$，判斷符號即可證明．

解答 證明：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，f（-x）=$\frac{-x}{（-x）^{2}+1}$=-f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，∴（x₂-x₁）（x₁x₂-1）＞0，
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）為減函數(shù)．．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．