Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，F(xiàn)（x）=2f（x）-x有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 討論x＞0時(shí)，函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，可得x≤0時(shí)，F(xiàn)（x）=2x²+（2a-1）x只有一個(gè)零點(diǎn)，解方程可得x=0，則2a-1≤0，即可得到所求a的范圍．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=2f（x）-x=2ln（x+1）-x，
導(dǎo)數(shù)為F′（x）=$\frac{2}{x+1}$-1=$\frac{1-x}{1+x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減．
可得x=1處F（x）取得極大值，且為最大值2ln2-1＞0，
由F（x）=2ln（x+1）-x過原點(diǎn)，則x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，
可得x≤0時(shí)，F(xiàn)（x）=2f（x）-x=2x²+（2a-1）x只有一個(gè)零點(diǎn)，
x=0顯然成立；則2x+2a-1=0的根為0或正數(shù)．
則2a-1≤0，解得a≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和轉(zhuǎn)化思想，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．