Question

7．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-2x-1．
（1）求f（x）的函數(shù)解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的簡圖，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間及最值．
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個解，試說出實數(shù)m的取值范圍．（只要寫出結(jié)果，不用給出證明過程）

Answer 1

分析 （1）當x＜0時，-x＞0，由已知中當x≥0時，f（x）=x²-2x-1，及函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可求出當x＜0時函數(shù)的解析式，進而得到答案，
（2）由二次函數(shù)的圖象畫法可得到函數(shù)的草圖；根據(jù)圖象下降對應函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，分析出函數(shù)值的取值范圍后可得到答案；
（3）由圖象可得結(jié)論．

解答 解：（1）當x＜0時，-x＞0，f（-x）=x²+2x-1．
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=x²+2x-1--------------------------------------（2分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x-1，x＜0}\end{array}\right.$--------------------------------3分
（2）函數(shù)圖象如圖所示

-----------------------------------------------------------------------------------------（5分）
單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1]，[0，1]------------------------------------（6分）
f（x）_min=-2，函數(shù)沒有最大值（注：不說明最大值情況扣1分）--（8分）
（3）m∈{-2}∪（-1，+∞）----------------------------------------------------------（10分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)圖象，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．