Question

16．求函數(shù)f（x）=3-2asinx-cos²x，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的最小值．

Answer 1

分析 f（x）解析式可化為：f（x）═（sinx-a）²+2-a²，sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，可得不同情況下，函數(shù)的最小值．

解答 解：∵f（x）=3-2asinx-cos²x=sin²x-2asinx+2=（sinx-a）²+2-a²，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)sinx=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值a+$\frac{9}{4}$；
-$\frac{1}{2}$≤a≤1時(shí)，當(dāng)sinx=a時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值2-a²；
a＞1時(shí)，當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值3-2a；
綜上可知：$f（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}a+\frac{9}{4}，a＜-\frac{1}{2}\\-{a}^{2}+2，-\frac{1}{2}≤a≤1\\-2a+3，a＞1\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的求值，難度中檔．