Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，設(shè)過橢圓的焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且AB=8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）對于橢圓C上任一點(diǎn)M，若

OM

=a

OA

+b

OB

，求ab的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知橢圓的方程可化為：x²+4y²=4b²，AB：y=x-

3

b，從而5x²-8

3

bx+8b²=0，|AB|=

2

•

64×3 25 b2- 32 5 b2

=

8

5

b=8，由此能求出b=1，即可求出橢圓C的方程；
（2）利用

OM

=a

OA

+b

OB

，確定a²+b²=1，利用基本不等式，即可求ab的最大值．

解答： 解：（1）∵

c

a

=

3

2

，∴a²=4b²，c²=3b²，
∴橢圓的方程可化為：x²+4y²=4b²，①
∵右焦點(diǎn)F（

3

b，0），據(jù)題意有AB：y=x-

3

b，②
由①，②有：5x²-8

3

bx+8b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8 3 b

5

，x₁x₂=

8b2

5

，③
∴|AB|=

2

•

64×3 25 b2- 32 5 b2

=

8

5

b=8，解得b=5．
∴a²=100，
∴橢圓C的方程為

x2

100

+

y2

25

=1；
（2）設(shè)M（x，y），∵（x，y）=a（x₁，y₁）+b（x₂，y₂），∴x=ax₁+bx₂，y=ay₁+by₂，
又點(diǎn)M在橢圓上，∴（ax₁+bx₂）²+4（ay₁+by₂）²=4b²，④
又A，B在橢圓上，故有x₁²+4y₁²=4b²，x₂²+4y₂²=4b²⑤
由③④⑤可得：a²+b²=1．
∴a²+b²=1≥2ab，
∴ab≤

1

2

，
∴ab的最大值為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查圓錐曲線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．