Question

19．已知過點P（m，0）的直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程式為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于兩點A，B，且|PA|•|PB|=1，求實數m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+m\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$，（t為參數），消去參數t可得普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線l的參數方程代入圓的方程可得：${t^2}+（\sqrt{3}m-\sqrt{3}）t+{m^2}-2m=0$，由△＞0，解得m范圍，利用|PA|•|PB|=1=|t₁t₂|，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+m\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$，（t為參數），
消去參數t可得$x=\sqrt{3}y+m$．
由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐標方程：x²+y²=2x．
（Ⅱ）把$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+m\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），代入x²+y²=2x，
得${t^2}+（\sqrt{3}m-\sqrt{3}）t+{m^2}-2m=0$，
由△＞0，解得-1＜m＜3．
∴${t_1}{t_2}={m^2}-2m$．
∵|PA|•|PB|=1=|t₁t₂|，∴m²-2m=±1，
解得$m=1±\sqrt{2}$或1．
又滿足△＞0．∴實數$m=1±\sqrt{2}$或1．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程及其應用、極坐標方程化為直角坐標方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．