Question

7．f（x）是定義在R上的可導函數，且f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2016，則不等式e^xf（x）＞e^x+2015的解集是（0，+∞）．

Answer 1

分析 構造函數g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值即可求解．

解答 解：設g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞增，
∵e^xf（x）＞e^x+2015，
∴g（x）＞2015，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=2016-1=2015，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題考查函數單調性與奇偶性的結合，結合已知條件構造函數，然后用導數判斷函數的單調性是解題的關鍵，屬于中檔題．