Question

12．雙曲線H₁與雙曲線H₂：$\frac{x^2}{20}$-$\frac{y^2}{5}$=1具有相同的漸近線，且點(diǎn)（2$\sqrt{15}$，$\sqrt{5}$）在H₁上，則H₁的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 利用兩個雙曲線漸近線相同設(shè)出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線H₁與雙曲線H₂：$\frac{x^2}{20}$-$\frac{y^2}{5}$=1具有相同的漸近線，
∴設(shè)雙曲線H₁的方程為$\frac{x^2}{20}$-$\frac{y^2}{5}$=λ，（λ≠0），
∵點(diǎn)（2$\sqrt{15}$，$\sqrt{5}$）在H₁上，
∴λ=$\frac{60}{20}-\frac{5}{5}$=3-1=2，
即雙曲線H₁的方程為$\frac{x^2}{20}$-$\frac{y^2}{5}$=2，即$\frac{{x}^{2}}{40}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1，
即a²=40，b²=10，c²=40+10=50，
即a=2$\sqrt{10}$，b=$\sqrt{10}$，c=5$\sqrt{2}$，
則H₁的一個焦點(diǎn)為（5$\sqrt{2}$，0），漸近線方程y=±$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}$x=±$\frac{1}{2}$x，
不妨設(shè)y=$\frac{1}{2}$x，即x-2y=0，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離為d=$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{1+4}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=，$\sqrt{10}$
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)漸近線相同設(shè)出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．