Question

2．若點O和點F₂（-$\sqrt{2}$，0）分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}$=1（a＞0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$的取值范圍為（1，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的焦點坐標，求出a的值，設P（x，y），利用距離公式進行轉化求解即可．

解答 解：∵點O和點F₂（-$\sqrt{2}$，0）分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}$=1（a＞0）的中心和左焦點，
∴c=$\sqrt{2}$，則c²=a²+1=2，則a²=1，
即雙曲線方程為x²-y²=1，
設P（x，y），則x≥1，
則$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}$=$\frac{{x}^{2}+2\sqrt{2}x+2+{x}^{2}-1}{{x}^{2}+{x}^{2}-1+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2\sqrt{2}x+1}{2{x}^{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{x}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$）²，
則x≥1，∴1+$\frac{\sqrt{2}}{x}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$）²＞1，
又1+$\frac{\sqrt{2}}{x}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$）²=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）²，
∵x≥1，∴0＜$\frac{1}{x}$≤1，
即當$\frac{1}{x}$=1時，1+$\frac{\sqrt{2}}{x}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$）²=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）²取得最大值為$\frac{1}{2}$•（1+$\sqrt{2}$）²=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
故$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$的取值范圍為（1，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$]，
故答案為：（1，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$]，

點評 本題主要考查雙曲線的性質的應用，利用距離公式，轉化為一元二次函數(shù)形式是解決本題的關鍵．