Question

5．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0
（1）若a+b＞2，求證：$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}$中至少有一個(gè)小于2；
（2）若a-b=2，求證：a³+b＞8；
（3）若a²-b²=2，求證：a（3a-2b）≥4$\sqrt{2}$+6．

Answer 1

分析 （1）本題證明結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，故可用反證法證明其否定不成立，即證明$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}$不可能都不小于2，假設(shè)$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}$都不小于2，則$\frac{1+b}{a}$≥2，$\frac{1+a}$≥2得出2≥a+b，這與已知a+b＞2相矛盾，故假設(shè)不成立，以此來證明結(jié)論成立．
（2）利用作差法，即可證明；
（3）利用分析法證明即可．

解答 證明：（1）假設(shè)$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}$都不小于2，則$\frac{1+b}{a}$≥2，$\frac{1+a}$≥2
因?yàn)閍＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b）
即2≥a+b，這與已知a+b＞2相矛盾，故假設(shè)不成立．
綜上，$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}$中至少有一個(gè)小于2；
（2）∵a-b=2，∴b=a-2，
∵b＞0，∴a＞2，
∴a³+b-8=a³-8+a-2=（a-2）（a²+2a+5）＞0，
∴a³+b＞8；
（3）要證明：a（3a-2b）≥4$\sqrt{2}$+6，
就是證明：3a²-2ab≥4$\sqrt{2}$+6．
∵a²-b²=2，
就是證明：3b²-4$\sqrt{2}$≥2ab．
就是證明：（3b²-4$\sqrt{2}$）²≥4a²b²．
就是證明：5b⁴-（24$\sqrt{2}$+8）b²+32≥0．
設(shè)b²=t，則△=（24$\sqrt{2}$+8）²-640＞0，∴不等式成立，
∴a（3a-2b）≥4$\sqrt{2}$+6．

點(diǎn)評(píng) 反證法是一種簡(jiǎn)明實(shí)用的數(shù)學(xué)證題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想．相對(duì)于直接證明來講，反證法是一種間接證法．它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法．其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用“正難則反”的策略，從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾．