Question

11．近日，某公司對(duì)其生產(chǎn)的一款產(chǎn)品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量P（單位：萬(wàn)件）與促銷(xiāo)費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：p=3-$\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品件數(shù)為P（單位：萬(wàn)件）時(shí)，還需投入成本10+2P（單位：萬(wàn)元）（不含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為（4+$\frac{30}{p}$）元/件，假定生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等．
（Ⅰ）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）的函數(shù)；
（Ⅱ）促銷(xiāo)費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）是多少時(shí)，該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）取最大值？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，y=（4+$\frac{30}{p}$）p-x-（10+2p），
將p=3-$\frac{2}{x+1}$代入化簡(jiǎn)得：y=26-$\frac{4}{x+1}$-x（0≤x≤a）；
（Ⅱ）y′=-$\frac{（x+3）（x-1）}{（x+1）^{2}}$，
當(dāng)a≥1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)y'＞0，所以函數(shù)26-$\frac{4}{x+1}$-x在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，a）時(shí)y'＜0，所以函數(shù)26-$\frac{4}{x+1}$-x在（1，a）上單調(diào)遞減，
從而促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；
當(dāng)a＜1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)26-$\frac{4}{x+1}$-x在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以在[0，a]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有最大值．
即促銷(xiāo)費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．
綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大，為23 萬(wàn)元；
當(dāng)a＜1時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入a萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大，為26-$\frac{4}{a+1}$-a 萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．