Question

16．若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=ra_n+r（n∈N^*，實數(shù)r是非零常數(shù)），則“r=1”是“數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，分別證明充分性和必要性，從而得到答案．

解答 解：當r=1時，等式a_n+1=r•a_n+r化為a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1（n∈N^*）．
所以，數(shù)列{a_n}是首項a₁=1，公差為1的等差數(shù)列；
“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的充分條件，
當r不等于1時，
由a_n+1=ra_n+r=$\frac{{r}^{2}}{r-1}$-$\frac{r}{r-1}$，得a_n+1+$\frac{r}{r-1}$=r（a_n+$\frac{r}{r-1}$）
所以，數(shù)列{a_n+$\frac{r}{r-1}$}是首項為$\frac{2r}{r-1}$，公比為r的等比數(shù)列
所以，a_n+$\frac{r}{r-1}$=$\frac{2r}{r-1}$r^n-1，
當r=$\frac{1}{2}$時，a_n=1．{a_n}是首項為1，公差為0的等差數(shù)列．
因此，“r=1”不是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的必要條件．
綜上可知，“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的充分但不必要條件．
故選A．

點評 本題考查了必要條件、充分條件及充要條件，解答的關鍵是判斷必要性，也是該題的難點，考查了由遞推式求數(shù)列的通項公式，對于a_n+1=pa_n+q型的遞推式，一般都可轉化成一個新的等比數(shù)列．此題是中檔題．