Question

【題目】如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形，D是A1C1的中點，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．
（Ⅰ）求證：A1B∥平面B1DC；
（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結(jié)BC1，B1C，交于點O，連結(jié)OD，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形，D是A1C1的中點，

∴OD∥A1B，

∵A1B平面B1DC，OD平面B1DC，

∴A1B∥平面B1DC．

（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形，D是A1C1的中點，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．

∴以D為原點，DC1為x軸，DB1為y軸，過D作平面A1B1C1的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（0，0，0），B1（0， ，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），

=（﹣1， ，﹣3）， =（﹣1，0，﹣3）， =（0，0，﹣3），

設(shè)平面B1DC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（﹣3，0，1），

設(shè)平面B1CC1的法向量 =（a，b，c），

則 ，取b=1，得 =（ ），

設(shè)二面角D﹣B1C﹣C1的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）連結(jié)BC1，B1C，交于點O，連結(jié)OD，則OD∥A1B，由此能證明A1B∥平面B1DC．（Ⅱ）以D為原點，DC1為x軸，DB1為y軸，過D作平面A1B1C1的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．