Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-x-lnx，a∈R
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=x²-x-lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=0；
（2）f′（x）=ax-1-$\frac{1}{x}$$\frac{{ax}^{2}-x-1}{x}$，
若f（x）在[2，+∞）遞增，
則g（x）=ax²-x-1≥0在[2，+∞）恒成立，
a=0時(shí)，-x-1≥0在[2，+∞）不成立，
a≠0時(shí)，顯然a＞0，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}＜2}\\{g（2）=4a-2-1≥0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．