Question

16．已知數列{a_n}滿足：${a_1}∈{N^+}，{a_1}≤36$，且${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，記集合$M=\left\{{{a_n}|n∈{N^+}}\right\}$
（1）若a₁=6，寫出集合M的所有元素；
（2）求集合M的元素個數的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a₁=6，由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，M={a_n|n∈N^*}．可得a₂=2a₁=12，a₃=24，a₄=12，…，即可得出集合M的所有元素．
（Ⅱ）①由于集合M存在一個元素是3的倍數，不妨設a_k是3的倍數，由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，可歸納證明對任意n≥k，a_n是3的倍數．
②對a₁≤36，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36，{a}_{n}＞18}\end{array}\right.$，（n=1，2，…），可歸納證明對任意n≥k，a_n＜36（n=2，3，…），由a₁是正整數，a₂=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}，{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18}\end{array}\right.$，可得a₂是2的倍數．從而當n≥2時，a_n是2的倍數．如果a₁是3的倍數，則對所有正整數n，a_n是3的倍數．如果a₁不是3的倍數，對所有正整數n，a_n不是3的倍數．進而得出．

解答 解：（Ⅰ）若a₁=6，由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，M={a_n|n∈N^*}．
∴a₂=2a₁=12，a₃=2a₂=24，a₄=2×a₃-36=12，…，
故集合M的所有元素為6，12，24．
（Ⅱ）①∵集合M存在一個元素是3的倍數，∴不妨設a_k是3的倍數，
由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，可歸納證明對任意n≥k，a_n是3的倍數．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍數；
如果k＞1，∵a_k=2a_k-1，或a_k=2a_k-1-36，∴2a_k-1是3的倍數；于是a_k-1是3的倍數；
類似可得，a_k-2，…，a₁都是3的倍數；
從而對任意n≥1，a_n是3的倍數；
綜上，若集合M存在一個元素是3的倍數，則集合M的所有元素都是3的倍數
②對a₁≤36，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36，{a}_{n}＞18}\end{array}\right.$，（n=1，2，…），可歸納證明對任意n≥k，a_n＜36（n=2，3，…）
∵a₁是正整數，a₂=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}，{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18}\end{array}\right.$，∴a₂是2的倍數．
從而當n≥2時，a_n是2的倍數．
如果a₁是3的倍數，則對所有正整數n，a_n是3的倍數．
因此當n≥3時，a_n∈{12，24，36}，這時M的元素個數不超過5．
如果a₁不是3的倍數，對所有正整數n，a_n不是3的倍數．
因此當n≥3時，a_n∈{4，8，16，20，28，32}，這時M的元素個數不超過8．
當a₁=1時，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8個元素．
綜上可得：集合M的元素個數的最大值是8．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式、數的整除性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．