Question

8．已知拋物線C：y²=-4x．
（Ⅰ）已知點M在拋物線C上，它與焦點的距離等于5，求點M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）直線l過定點P（1，2），斜率為k，當(dāng)k為何值時，直線l與拋物線：只有一個公共點；兩個公共點；沒有公共點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知點M在拋物線C上，它與焦點的距離等于5，利用拋物線的定義，建立方程，即可求點M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-k+2}\\{{y^2}=-4x}\end{array}}\right.$可得：ky²+4y+4k-8=0，利用判別式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）點M在拋物線C上，設(shè)$C（-\frac{y^2}{4}，y）$，設(shè)焦點為F，$|CF|=|-\frac{y^2}{4}|+1=5$---（2分）
解得：y²=16，故點M（-4，4）或M（-4，-4）----------------------------（4分）
（Ⅱ）由題意設(shè)直線l的方程：y=kx-k+2
由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-k+2}\\{{y^2}=-4x}\end{array}}\right.$可得：ky²+4y+4k-8=0---（1）----------（5分）
（1）當(dāng)k=0時，由（1）得y=2帶入y²=-4x，x=-1，
此時直線與拋物線只有一個公共點．---------------------------------------------------------（6分）
（2）當(dāng)k≠0時，（1）的判別式△=16-4k（4k-8）=-16（k²-2k-1）-------（7分）
當(dāng)△=0時，$k=1+\sqrt{2}$或$k=1-\sqrt{2}$，此時直線與拋物線只有一個公共點；------（8分）
當(dāng)△＞0時，$1-\sqrt{2}＜k＜1+\sqrt{2}$，此時直線與拋物線有兩個公共點；-----------（10分）
當(dāng)△＜0時，$k＞1+\sqrt{2}$或$k＜1-\sqrt{2}$，此時直線與拋物線沒有公共點．-----------（12分）

點評 本題考查拋物線的方程與定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．