Question

已知函數y=sinωxcosφ+cosωxsinφ，其最小正周期為π，直線x=

π

3

是其圖象的一條對稱軸，則下面結論正確的是（　　）

• A、關于（

  5π

  12

  ，0）對稱，在區(qū)間[-

  π

  6

  ，0]上單調遞增
• B、關于（

  7π

  12

  ，0）對稱，在區(qū)間[-

  π

  6

  ，0]上單調遞增
• C、關于（

  π

  3

  ，0）對稱，在區(qū)間[0，

  π

  3

  ]上單調遞增
• D、關于（

  π

  3

  ，0）對稱，在區(qū)間[-

  π

  6

  ，0]上單調遞增

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：由兩角和的正弦化簡，然后由周期為π求得ω的值，再根據直線x=

π

3

是其圖象的一條對稱軸求得φ的值，然后代值驗證四個選項中只有B給出的（

7π

12

，0）為對稱中心，再驗證單調性確定答案．

解答：解：y=sinωxcosφ+cosωxsinφ
=sin（ωx+φ）．
∵函數的最小正周期為π，
∴ω=2，
則y=sin（2x+φ）．
又x=

π

3

是其圖象的一條對稱軸，
∴

2π

3

+φ=

π

2

+kπ，
φ=kπ-

π

6

，k∈Z．
∴y=sin(2x+kπ-

π

6

)=±sin(2x-

π

6

)．
∵當x=

5π

12

時，y≠0；
當x=

7π

12

時，y=0；
當x=

π

3

時，y≠0．
且x∈[-

π

6

，0]時，2x-

π

6

∈[-

π

2

，-

π

6

]，函數單調遞增．
∴函數y=sinωxcosφ+cosωxsinφ關于（

7π

12

，0）對稱，在區(qū)間[-

π

6

，0]上單調遞增．
故選：B．

點評：本題考查了三角函數周期的求法，考查了三角函數的對稱性和單調性，是中檔題．