【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若,求證: .
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) ;(Ⅲ)證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(Ⅲ) ,等價(jià)于,等價(jià)于,設(shè),只須證成立,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求出的最小值,證明最小值大于零即可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)若,則,,
所以在點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅱ)
令,則.
令,得 (依題意)
由,得;由,得.
所以, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,
因?yàn)?/span>,所以.
所以,即.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅲ)由,等價(jià)于,
等價(jià)于.
設(shè),只須證成立.
因?yàn)?/span>
由,得有異號兩根.
令其正根為,則.
在上,在上
則的最小值為
又
所以則
因此即所以.所以.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在處的導(dǎo)數(shù),即在點(diǎn) 出的切線斜率(當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí),在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和為4.
(Ⅰ)求動點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)已知直線和的傾斜角均為,直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相交于, 兩點(diǎn),直線過點(diǎn)且與曲線是交于, 兩點(diǎn),求證:對任意, .
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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【題目】給定點(diǎn),若是直線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),直線與軸的正半軸相交于點(diǎn).試探究:的面積是否具有最小值?若有,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若沒有,則說明理由.若點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn),情況又會怎樣呢?
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,并取與直角坐標(biāo)系相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)求曲線, 的直角坐標(biāo)方程;
(2)若、分別是曲線和上的任意點(diǎn),求的最小值.
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【題目】提升城市道路通行能力,可為市民提供更多出行便利.我校某研究性學(xué)習(xí)小組對成都市一中心路段(限行速度為千米/小時(shí))的擁堵情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),通過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn):該路段的車流速度(輛/千米)與車流密度(千米/小時(shí))之間存在如下關(guān)系:如果車流密度不超過該路段暢通無阻(車流速度為限行速度);當(dāng)車流密度在時(shí),車流速度是車流密度的一次函數(shù);車流密度一旦達(dá)到該路段交通完全癱瘓(車流速度為零).
(1)求關(guān)于的函數(shù)
(2)已知車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù))等于車流密度與車流速度的乘積,求此路段車流量的最大值.
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【題目】設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前項(xiàng)和為,前項(xiàng)之積為,并且滿足條件:,,,下列結(jié)論中正確的是( )
A. B.
C. 是數(shù)列中的最大值 D. 數(shù)列無最小值
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