Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

（Ⅱ）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅲ）若,求證: .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅲ） ,等價(jià)于,等價(jià)于，設(shè),只須證成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出的最小值，證明最小值大于零即可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）若,則,,

所以在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅱ）

令,則.

令,得 (依題意)

由,得;由,得.

所以, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,

因?yàn)?/span>,所以.

所以,即.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（Ⅲ）由,等價(jià)于,

等價(jià)于.

設(shè),只須證成立.

因?yàn)?/span>

由,得有異號兩根.

令其正根為,則.

在上,在上

則的最小值為

又

所以則

因此即所以.所以.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.