Question

已知函數(shù)f（x）=3

2

sin

x

4

cos

x

4

-3

2

cos²

x

4

+

3 2

2

．
（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)在一個(gè)周期的圖象；
（2）若x∈[

5π

6

，

11π

6

]，求f（x）的值域；
（3）說明此函數(shù)可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運(yùn)用二倍角公式和兩角差的正弦公式化簡f（x），并用五點(diǎn)法求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可在坐標(biāo)系中作出函數(shù)一個(gè)周期的圖象；
（2）由x的范圍，求得

x

2

-

π

4

的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到值域；
（3）運(yùn)用三角函數(shù)的相位變換、周期變換和伸縮變換，即可得到f（x）的圖象．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=3

2

sin

x

4

cos

x

4

-3

2

cos²

x

4

+

3 2

2

=

3 2

2

sin

x

2

-

3 2

2

（1+cos

x

2

）+

3 2

2

=

3 2

2

（sin

x

2

-cos

x

2

）=3sin（

x

2

-

π

4

），
列表：

x	π 2	3π 2	5π 2	7π 2	9π 2
x 2 - π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
y=3sin（ x 2 - π 4 ）	0	3	0	-3	0

描點(diǎn)、連線，如圖所示：

（2）當(dāng)x∈[

5π

6

，

11π

6

]，
則

x

2

-

π

4

∈[

π

6

，

2π

3

]，
即有sin（

x

2

-

π

4

）∈[

1

2

，1]，
即有3sin（

x

2

-

π

4

）∈[

3

2

，3]，
則f（x）的值域?yàn)閇

3

2

，3]；
（3）將y=sinx的圖象先向右平移

π

4

個(gè)單位，
再將所得圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)f（x）=3sin（

x

2

-

π

4

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式的運(yùn)用，考查五點(diǎn)法畫圖的方法，考查正弦函數(shù)的值域和三角函數(shù)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．