如圖,四棱錐P-ABCD,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的棱形,M為棱PC上的動(dòng)點(diǎn),且
PM
PC
=λ(λ∈[0,1]).
(1)求證:△PBC為直角三角形;
(2)試確定λ的值,使得二面角P-AD-M的平面角余弦值為
2
5
5
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,棱錐的結(jié)構(gòu)特征
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OC,以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OD為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明△PBC為直角三角形.
(2)設(shè)M(a,b,c),由
PM
PC
=λ(λ∈[0,1]),得M(
3
λ
,0,
3
-
3
λ
),求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量,由此利用向量法能求出結(jié)果.
解答: (1)證明:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OC,
∵側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,
底面ABCD是∠ABC=60°的棱形,
∴△ADC是等邊三角形,PO、AD、CO兩兩垂直,
以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OD為y軸,OP為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
由題意得P(0,0,
3
),C(
3
,0,0
),
B(
3
,-2,0),
CB
=(0,-2,0),
CP
=(-
3
,0,
3
),
CB
CP
=0,∴CB⊥CP,
∴△PBC為直角三角形.
(2)解:設(shè)M(a,b,c),∵
PM
PC
=λ(λ∈[0,1]),
PM
PC
,即(a,b,c-
3
)=(
3
λ
,0,-
3
λ
),∴M(
3
λ
,0,
3
-
3
λ
),
A(0,-1,0),D(0,1,0),
AD
=(0,2,0),
AM
=(
3
λ
,1,
3
-
3
λ
),
設(shè)平面AMD的法向量
n
=(x,y,z),
n
AD
=2y=0
n
AM
=
3
λx+y+(
3
-
3
λ)z=0

取x=1,得
n
=(1,0,
λ-1
λ
),
由題意平面PAD的法向量
m
=(1,0,0),
∵二面角P-AD-M的平面角余弦值為
2
5
5

∴|cos<
m
,
n
>|=|
1
1+(
λ-1
λ
)2
|=
2
5
5
,
由λ∈[0,1]),解得λ=
1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知i是虛數(shù)單位,m和n都是實(shí)數(shù),且m(1+i)=7+ni,則
m+ni
m-ni
( 。
A、-1B、1C、-iD、i

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雙曲線
x2
9
-
y2
5
=1
與橢圓
x2
25
+
y2
11
=1
,一定有( 。
A、兩離心率之積為1
B、相同的兩條準(zhǔn)線
C、相同的兩個(gè)焦點(diǎn)
D、雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2sinx+a(x∈[0,
π
2
]),a為常數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,
π
2
]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=3
2
sin
x
4
cos
x
4
-3
2
cos2
x
4
+
3
2
2

(1)用五點(diǎn)法作出函數(shù)在一個(gè)周期的圖象;
(2)若x∈[
6
,
11π
6
],求f(x)的值域;
(3)說(shuō)明此函數(shù)可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.

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若偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=3x-2,則f(log354)=
 

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求導(dǎo):f(x)=
1
3
x3+2x2+3x.

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已知集合A={x∈R|m2x2-n=0},當(dāng)m,n滿足什么條件時(shí),集合A是有限集?無(wú)限集?空集?

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已知二次函數(shù)r(x)=x2+ax+b(a,b為常數(shù),a∈R,b∈R)的一個(gè)零點(diǎn)是-a,函數(shù)g(x)=lnx,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)=r(x)-g(x).
(Ⅰ)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f(x)的切線,證明切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1;
(Ⅱ)令F(x)=
f(x)
ex
,若函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

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