Question

以原點(diǎn)為中心焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線E的一條漸近線的傾斜角為60°，F(xiàn)是雙曲線E的右焦點(diǎn)，M是雙曲線E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)N是線段MF的中點(diǎn)，若|

ON

|=|

NF

|+1，求雙曲線E的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出雙曲線的方程，求出漸近線方程，可得b=

3

a，由中位線定理和雙曲線的定義，可得a=1，進(jìn)而得到b，即有雙曲線的方程．

解答： 解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
漸近線方程為y=±

b

a

x，
則

b

a

=tan60°=

3

，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，
由于點(diǎn)N是線段MF的中點(diǎn)，O為線段FF'的中點(diǎn)，
即有|ON|=

1

2

|MF'|，
設(shè)|NF|=t，則|MF|=2t，
由于M為右支上一點(diǎn)，則由雙曲線的定義，可得|MF'|=2a+2t，
則有|ON|=a+t，
由|

ON

|=|

NF

|+1，即為a+t=t+1，即a=1，b=

3

．
則所求雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查中位線定理的運(yùn)用，運(yùn)用雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．