Question

在數(shù)列{a_n}中，對于任意n∈N^*，等式：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=（n•2ⁿ-2ⁿ+1）t恒成立，其中常數(shù)t≠0．
（1）求a₁，a₂的值；          
（2）求證：數(shù)列{2^a_n}為等比數(shù)列；
（3）如果關(guān)于n的不等式

m

a1

+

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞0的解集為{n|n≥3，n∈N^*}，試求實(shí)數(shù)t、m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）在題目給出的等式中分別取n=1，2，聯(lián)立方程組即可求得a₁，a₂的值；
（2）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，兩式作差后得到n≥2時的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證n=1后代入數(shù)列{2^a_n}，然后利用等比數(shù)列的定義加以證明；
（3）結(jié)合（2）把原不等式轉(zhuǎn)化為為

m

t

+

1

t

(1-

1

2n

)＞0，對t分類后進(jìn)一步得到m＞

1

2n

-1或m＜

1

2n

-1，然后結(jié)合關(guān)于n的不等式

m

a1

+

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞0的解集為{n|n≥3，n∈N^*}及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到t和m的取值范圍．

解答： （1）解：∵a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)t，
∴a1=(21-21+1)t，a1+2a2=(2•22-22+1)t，
解得 a₁=t，a₂=2t；
（2）證明：當(dāng)n≥2時，由a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)t，①
得a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=[(n-1)•2n-1-2n-1+1]t，②
將①，②兩式相減，得2n-1an=(n•2n-2n+1)t-[(n-1)•2n-1-2n-1+1]t，
化簡，得a_n=nt，其中n≥2．
∵a₁=t，
∴a_n=nt，其中n∈N^*．
∵

2an

2an-1

=2an-an-1=2t(n≥2)為常數(shù)，
∴數(shù)列{2an}為等比數(shù)列；
（3）解：由（2）得a2n=2nt，
∴

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

=

1

2t

+

1

4t

+…+

1

2nt

=

1

t

×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

t

(1-

1

2n

)，
又∵a₁=t，
∴原不等式可化簡為

m

t

+

1

t

(1-

1

2n

)＞0，
①當(dāng)t＞0時，不等式

m

t

+

1

t

(1-

1

2n

)＞0?m＞

1

2n

-1，
由題意知，不等式m＞

1

2n

-1的解集為{n|n≥3，n∈N^*}，
∵函數(shù)y=(

1

2

)x-1在R上單調(diào)遞減，
∴只要m＞

1

23

-1且m≤

1

22

-1即可，
解得-

7

8

＜m≤-

3

4

；
②當(dāng)t＜0時，不等式

m

t

+

1

t

(1-

1

2n

)＞0?m＜

1

2n

-1，
由題意，要使不等式m＜

1

2n

-1的解集為{n|n≥3，n∈N^*}，
∵

1

23

-1＜

1

22

-1，
∴如果n=3時不等式成立，那么n=2時不等式也成立，
這與題意不符，舍去．
綜上所述：t＞0，-

7

8

＜m≤-

3

4

．

點(diǎn)評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，綜合考查了學(xué)生分析問題和理解問題的能力，屬難度較大的題目．