Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*）
（1）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；并求此數(shù)列的通項a_n；
（2）設數(shù)列b_n=

1

log2(an+1)log2(an+1+1)

，記T_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

T_n的值．   
（3）若數(shù)列{C_n}滿足C₁=10，C_n+1=100C_n，求數(shù)列{C_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的極限

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）構造可得a_n+1=2（a_n-1+1），從而可得數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，以2為等比數(shù)列，可先求a_n+1，進而可求a_n；
（2）利用裂項法求和，即可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，從而求

lim

n→∞

T_n的值．   
（3）先證明{lgC_n}是以2為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{C_n}的通項公式．

解答： （1）證明：∵a_n=2a_n-1+1
∴a_n+1=2a_n-1+2
∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列 …2′
又∵a₁=1，∴a₁+1=2
∴a_n+1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1….2′
（2）解：∵b_n=

1

log2(an+1)log2(an+1+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

….2′
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∴

lim

n→∞

T_n=1  ….2′
（3）解：∵C_n+1=100C_n
∴l(xiāng)gC_n+1=2+lgC_n，….2
∴{lgC_n}是以2為公差的等差數(shù)列…..1
又∵C₁=10，∴l(xiāng)gC₁=1
lgC_n=1+（n-1）×2=2n-1
∴C_n=10^2n-1，（n∈N^*）…1．

點評：本題的考點是數(shù)列遞推式，主要考查了利用數(shù)列的遞推關系求解數(shù)列的項，考查數(shù)列求和，關鍵是構造等比數(shù)列的方法的應用．