Question

2．若（4$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}}$）ⁿ的展開式中各項系數(shù)之和為125，則展開式的常數(shù)項為48．

Answer 1

分析 令x=1，可得${（{4\sqrt{x}+\frac{1}{x}}）^n}$的展開式中各項系數(shù)之和為5ⁿ=125，求出n，利用二項展開式的通項公式求出常數(shù)項．

解答 解：令x=1，可得${（{4\sqrt{x}+\frac{1}{x}}）^n}$的展開式中各項系數(shù)之和為5ⁿ=125，所以n=3，
則二項展開式的通項為T_r+1=${C}_{3}^{r}•（4\sqrt{x}）^{3-r}$•x^-r=$C_3^r{4^{3-r}}{x^{\frac{3-3r}{2}}}$，
令$\frac{3-3r}{2}$=0，得r=1，
故二項展開式的常數(shù)項為${C}_{3}^{1}$×4²=48．
故答案為：48．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質及二項展開式的通項公式，二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．