Question

2．已知點(diǎn)P是圓O外的一點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，過(guò)P作一割線交圓O于點(diǎn)E，F(xiàn)，若2PA=PF，取PF的中點(diǎn)D，連接AD，并延長(zhǎng)交圓于H．
（1）求證：O，A，P，B四點(diǎn)共圓；
（2）求證：PB²=2AD•DH．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)角互補(bǔ)，證明O，A，P，B四點(diǎn)共圓；
（2）由切割線定理證明出PA=2PE，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，即可證明：PB²=2AD•DH．

解答 證明：（1）連接OA，OB，
∵PA，PB為圓O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO+∠PBO=180°，
∴O，A，P，B四點(diǎn)共圓；
（2）由切割線定理可得PA²=PE•PF，
∵PF=2PA，
∴PA²=PE•2PA，
∴PA=2PE，
∴PE=ED=$\frac{1}{2}$PA，
由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，
∴AD•DH=$\frac{1}{2}$PA²，
∵PB=PA，
∴PB²=2AD•DH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與圓相關(guān)的比例線段及圓內(nèi)接四邊形的判定，考查切割線定理、相交弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．