Question

12．對于非零復(fù)數(shù)a，b，c，有以下七個命題：
①a+$\frac{1}{a}$≠0；
②若a=-$\overline{a}$，$\overline{a}$為a的共軛復(fù)數(shù)，則a為純虛數(shù)；
③（a+b）²=a²+2ab+b²；
④若a²=ab，則a=b；
⑤若|a|=|b|，則a=±b；
⑥若a²+b²+c²＞0，則a²+b²＞-c²；
⑦若a²+b²＞-c²，則a²+b²+c²＞0．
其中，真命題的個數(shù)為（　　）

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 舉例a=i，即可判斷①錯；運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的概念，計算即可判斷②對；由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)，可得③對；由兩數(shù)的乘積性質(zhì)可得④對；當(dāng)a=i，b=1，可得⑤錯；當(dāng)a=1，b=1+i，c=1-i，即可判斷⑥錯；
運(yùn)用不等式的性質(zhì)：兩邊同時加上一個實(shí)數(shù)或整式，不等式符號不改變，即可判斷⑦對．

解答 解：對于非零復(fù)數(shù)a，b，c，
①當(dāng)a=i，則a+$\frac{1}{a}$=i+$\frac{1}{i}$=i-i=0，故①錯；
②若a=-$\overline{a}$，$\overline{a}$為a的共軛復(fù)數(shù)，且a為非零復(fù)數(shù)，
設(shè)a=x+yi（x，y∈R），即有x+yi=-（x-yi），可得x=0，y≠0，則a為純虛數(shù)，故②對；
③由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)可得（a+b）²=a²+2ab+b²，故③對；
④若a²=ab，即a（a-b）=0，由a為非零復(fù)數(shù)，則a=b，故④對；
⑤當(dāng)a=i，b=1，則|a|=|b|=1，則a=±b不成立．故⑤錯；
⑥當(dāng)a=1，b=1+i，c=1-i，有a²+b²+c²=1+2i-2i=1＞0，但a²+b²=1+2i，c²=-2i，
無法比較a²+b²，-c²，故⑥錯；
⑦若a²+b²＞-c²，可得不等式左右兩邊均為實(shí)數(shù)，由不等式的性質(zhì)：兩邊同時加上一個實(shí)數(shù)或整式，
不等式符號不改變．則a²+b²+c²＞0．故⑦對．
綜上可得，真命題的個數(shù)為4．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算和性質(zhì)，注意與實(shí)數(shù)比較，考查判斷能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．